(486) the simplex multipliers and the shadow price in linear programming مضاعفات سيمبلكس وسعر الظل في البرمجة الخطية

Abstract

The study begins by presenting the theoretical foundations of the simplex multiplier method and explains that the approach relies on matrix representations of the relationships among basic and non-basic variables within a linear programming model. The study demonstrates that matrix-based procedures reduce computational requirements, particularly in problems characterized by a large number of variables relative to constraints. Consequently, this approach saves computational time and reduces storage requirements. Additionally, because the original model data remain unchanged throughout iterative procedures, cumulative numerical errors can be minimized and calculations can be verified more efficiently. Particular attention is given to the concept of shadow prices as economic indicators measuring the expected change in the objective function resulting from a one-unit change in available resources or constraints. The study emphasizes that shadow prices are important not only for economic interpretation but also for sensitivity analysis and post-optimization studies examining the effects of modifications in model parameters. The study also discusses degeneracy problems and their treatment through the lexicographic rule, together with the role of shadow prices in large-scale programming models and decomposition techniques. It concludes that simplex multipliers and shadow prices provide effective tools not only for obtaining optimal solutions but also for interpreting and evaluating solution flexibility and supporting scientifically based managerial and economic decision-making processes.تناقش هذه الدراسة مفهوم معاملات السمبلكس وأسعار الظل في البرمجة الخطية باعتبارهما من الأدوات الأساسية في بحوث العمليات والتحليل الكمي واتخاذ القرارات الاقتصادية والإدارية. وتنطلق الدراسة من فرضية رئيسية مؤداها أن خوارزمية السمبلكس في صورتها المصفوفية لا تمثل مجرد صياغة رياضية بديلة للطريقة التقليدية، وإنما توفر مزايا حسابية وتحليلية مهمة تسهم في تحسين كفاءة الحل وتوسيع مجالات التطبيق العملي للنماذج الخطية. تبدأ الدراسة بعرض الأساس النظري لطريقة معاملات السمبلكس، موضحةً أن هذه الطريقة تعتمد على استخدام مصفوفات تمثل العلاقات بين المتغيرات الأساسية وغير الأساسية داخل نموذج البرمجة الخطية. وتبين الدراسة أن استخدام الصياغة المصفوفية يقلل حجم العمليات الحسابية المطلوبة، خاصة في المشكلات التي تحتوي على عدد كبير من المتغيرات مقارنة بعدد القيود، مما يؤدي إلى توفير الوقت وتقليل متطلبات التخزين الحاسوبي. كما توضح أن البيانات الأصلية للنموذج تبقى محفوظة دون تعديل متكرر خلال عمليات الارتكاز، الأمر الذي يقلل احتمالات تراكم الأخطاء العددية أثناء الحسابات. وتولي الدراسة اهتمامًا خاصًا لمفهوم أسعار الظل باعتباره مؤشرًا اقتصاديًا يعبر عن مقدار التغير المتوقع في قيمة دالة الهدف نتيجة التغير بوحدة واحدة في أحد القيود أو الموارد المتاحة. وتشير إلى أن أسعار الظل لا تقتصر أهميتها على التفسير الاقتصادي، بل تُستخدم أيضًا في تحليل الحساسية ودراسة آثار التغيرات المحتملة في الموارد والقيود على الحل الأمثل. كما تتناول الدراسة مشكلة الانحلال (Degeneracy) وإمكانية معالجتها باستخدام القاعدة المعجمية (Lexicographic Rule)، إضافة إلى توضيح دور أسعار الظل في نماذج البرمجة واسعة النطاق وتقنيات التفكيك (Decomposition Methods). وتخلص الدراسة إلى أن معاملات السمبلكس وأسعار الظل تمثلان أدوات فعالة ليس فقط في الوصول إلى الحل الأمثل، وإنما أيضًا في تفسيره وتحليل مرونته ودعم القرارات الإدارية والاقتصادية القائمة على أسس علمية دقيق